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专题05分式方程及应用
【考试知识点1】解分式方程
【例1】（2019•上海）解方程：
1
【答案】x＝﹣4
【分析】去分母得：2x2﹣8＝x2﹣2x，即x2+2x﹣8＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x+4）＝0，
解得：x＝2或x＝﹣4，
经检验x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣4．
点睛：此题考查知道分式方程，借助了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【变式1-1】（2019•宁夏）解方程：
1
．
【答案】x＝4
【分析】1
，
方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），得
2（x﹣1）+（x+2）（x﹣1）＝x（x+2），
∴x＝4，
经检验x＝4是方程的解；
∴方程的解为x＝4；
点睛：本题考分数查询式方程的解；学会分式方程的求解办法，验根是重点．
【变式1-2】（2019•广安）解分式方程：
1
．
【答案】x＝4
【分析】
1
，
方程两边乘（x﹣2）2得：x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，（x﹣2）2≠0．
所以原方程的解为x＝4．
点睛：此题考查知道分式方程，借助了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【考试知识点2】已知分式方程的解，求字母参数的值
【例2】（2019•株洲）关于x的分式方程
解为x＝4，则常数a的值为（）
A．a＝1 B．a＝2 C．a＝4 D．a＝10
【答案】D
【分析】把x＝4代入方程
，得
0，
解得a＝10．
故选：D．
点睛：此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不可以为0．
【变式2-1】（2019•张家界）若关于x的分式方程
1的解为x＝2，则m的值为（）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】∵关于x的分式方程
1的解为x＝2，
∴x＝m﹣2＝2，
解得：m＝4．
故选：B．
点睛：此题主要考查了分式方程的解，正确解方程是解题重点．
【考试知识点3】分式方程的特殊解问题
【例3】（2019•鸡西）已知关于x的分式方程1的解是非正数，则m的取值范围是（）
A．m≤3 B．m＜3 C．m＞﹣3 D．m≥﹣3
【答案】A
【分析】
1，
方程两边同乘以x﹣3，得
2x﹣m＝x﹣3，
移项及合并相同种类项，得
x＝m﹣3，
∵分式方程1的解是非正数，x﹣3≠0，
∴
，
解得，m≤3，
故选：A．
点睛：本题考分数查询式方程的解、解一元一次不等式，解答本题的重点是明确解分式方程的办法．
【变式3-1】（2019•荆州）已知关于x的分式方程
2
的解为正数，则k的取值范围为（）
A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2且k≠﹣1 C．k＞﹣2 D．k＜2且k≠1
【答案】B
【分析】∵
2，
∴
2，
∴x＝2+k，
∵该分式方程有解，
∴2+k≠1，
∴k≠﹣1，
∵x＞0，
∴2+k＞0，
∴k＞﹣2，
∴k＞﹣2且k≠﹣1，
故选：B．
点睛：本题考分数查询式方程的解法，解题的重点是熟练运用分式方程的解法，本题是基础题型．
【变式3-2】（2019•齐齐哈尔）关于x的分式方程
3的解为非负数，则a的取值范围为__________．
【答案】a≤4且a≠3
【分析】3，
方程两边同乘以x﹣1，得
2x﹣a+1＝3（x﹣1），
去括号，得
2x﹣a+1＝3x﹣3，
移项及合并相同种类项，得
x＝4﹣a，
∵关于x的分式方程3的解为非负数，x﹣1≠0，
∴
，
解得，a≤4且a≠3，
故答案为：a≤4且a≠3．
点睛：本题考分数查询式方程的解、解一元一次不等式，解答本题的重点是明确解分式方程的办法．
【考试知识点4】分式方程的无解（增根）问题
【例4】（2019•烟台）若关于x的分式方程
1
有增根，则m的值为__________．
【分析】.方程两边都乘（x﹣2），
得3x﹣x+2＝m+3
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x﹣2）＝0，
解得x＝2，
当x＝2时，m＝3．
故答案为3．
点睛：本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得有关字母的值．
【变式4-1】（2019•巴中）若关于x的分式方程
2m有增根，则m的值为__________．
【答案】1
【分析】方程两边都乘x﹣2，得x﹣2m＝2m（x﹣2）
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣2＝0，
解得x＝2，
当x＝2时，m＝1
故m的值是1，
故答案为1
点睛：本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得有关字母的值．
【考试知识点5】分式方程的应用问题
【例5】（2019•丹东）甲、乙两同学的家与某科技馆的距离均为4000m．甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先步行800m，然后坐公交，乙同学骑自行车．已知乙骑自行车的速度是甲步行速度的4倍，公交车的速度是乙骑自车速的2倍，结果甲同学比乙同学晚到2.5min．求乙到达科技馆时，甲离科技馆还有多远．
【答案】乙到达科技馆时，甲离科技馆还有1600m
【分析】（1）设甲步行的速度为x米/分，则乙骑自行车的速度为4x米/分，公交车的速度是8x米/分钟，
依据题意得2.5
，
解得x＝80．经检验，x＝80是原分式方程的解．
所以2.5×8×80＝1600（m）
答：乙到达科技馆时，甲离科技馆还有1600m．
点睛：本题考分数查询式方程的应用，剖析题意，找到适合的等量关系是解决问题的重点．
【变式5-1】（2019•铁岭）某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的，已知甲玩具的拿货单价比乙玩具的拿货单价多1元．
（1）求：甲、乙玩具的拿货单价各是多少元？
（2）玩具售完后，超市决定第三购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的拿货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多60件，求：该超市用低于2100元最多可以采购甲玩具多少件？
【分析】（1）设甲种玩具的拿货单价为x元，则乙种玩具的进价为（x﹣1）元，
依据题意得：
，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，
∴x﹣1＝5．
答：甲种玩具的拿货单价6元，则乙种玩具的进价为5元．
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（2y+60）件，
依据题意得：6y+5（2y+60）≤2100，
解得：y≤112，
∵y为整数，
∴y最大值＝112
答：该超市用低于2100元最多可以采购甲玩具112件．
点睛：本题考查了分式方程的应用与一元一次不等式的应用，解题的重点是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）依据各数目间的关系，正确列出一元一次不等式．
【变式5-2】（2019•南通）列方程解应用题：
中华出色传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为传承出色传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格．
【答案】每套《三国演义》的价格为80元
【分析】设每套《三国演义》的价格为x元，则每套《西游记》的价格为（x+40）元，
依题意，得：
2
，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是所列分式方程的解，且符合题意．
答：每套《三国演义》的价格为80元．
点睛：.本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的重点．
1．（2019•海南）分式方程
1的解是（）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
【答案】B
【分析】
1，
两侧同时乘以（x+2），可得
x+2＝1，
解得x＝﹣1；
经检验x＝﹣1是原方程的根；
故选：B．
点睛：本题考分数查询式方程的解法；熟练学会分式方程的办法是解题的重点．
2．（2019•益阳）解分式方程3时，去分母化为一元一次方程，正确的是（）
A．x+2＝3 B．x﹣2＝3
C．x﹣2＝3（2x﹣1） D．x+2＝3（2x﹣1）
【答案】C
【分析】方程两边都乘以（2x﹣1），得
x﹣2＝3（2x﹣1），
故选：C．
点睛：此题考查知道分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程肯定注意要验根．
3．（2019•遂宁）关于x的方程1的解为正数，则k的取值范围是（）
A．k＞﹣4 B．k＜4 C．k＞﹣4且k≠4 D．k＜4且k≠﹣4
【答案】C
【分析】分式方程去分母得：k﹣（2x﹣4）＝2x，
解得：x，
依据题意得：
0，且
2，
解得：k＞﹣4，且k≠4．
故选：C．
点睛：此题考查了分式方程的解，本题应该注意在任何时候都要考虑分母不为0．
4．（2019•重庆）若关于x的一元一次不等式组
的解集是x≤a，且关于y的分式方程1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）
A．0 B．1 C．4 D．6
【答案】B
【分析】由不等式组得：
∵解集是x≤a，
∴a＜5；
由关于y的分式方程
1得2y﹣a+y﹣4＝y﹣1
∴y，
∵有非负整数解，
∴0，
∴5＞a≥﹣3，
且a＝﹣3，a＝﹣1（舍，此时分式方程为增根），a＝1，a＝3
它们的和为1．
故选：B．
点睛：本题综合考查了含参一元一次不等式，含参分式方程得问题，需要考虑的原因较多，是易错题．
5．（2018•阿坝州）若x＝4是分式方程的根，则a的值为（）
A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4
【答案】A
【分析】将x＝4代入分式方程可得：，
化简得
1，
解得a＝6．
故选：A．
点睛：本题主要考分数查询式方程及其解法．注意：在解方程的过程中由于在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
6．（2018•巴中）若分式方程
有增根，则实数a的取值是（）
A．0或2 B．4 C．8 D．4或8
【答案】D
【分析】方程两边同乘x（x﹣2），得3x﹣a+x＝2（x﹣2），
由题意得，分式方程的增根为0或2，
当x＝0时，﹣a＝﹣4，
解得，a＝4，
当x＝2时，6﹣a+2＝0，
解得，a＝8，
故选：D．
点睛：本题考查的是分式方程的增根，增根的概念：在分式方程变形时，大概产生不合适原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值以外的值的根，叫做原方程的增根．
7．（2019•鞍山）为了美化校园环境，某中学今年春天购买了A，B两种树苗在校园四周栽种，已知A种树苗的单价比B种树苗的单价多10元，用600元购买A种树苗的棵数恰好与用450元购买B种树苗的棵数相同．若设A种树苗的单价为x元，则可列出关于x的方程为__________
．
【答案】．
【分析】设A种树苗的单价为x元，则B种树苗的单价为（x﹣10）元，所以用600元购买A种树苗的棵数是
，用450元购买B种树苗的棵数是
．
由题意，得．
故答案是：．
点睛：考查了由实质问题抽象出分式方程，找到重点描述语，找到适合的等量关系是解决问题的重点．
8．（2019•永州）方程
的解为x＝__________．
【答案】﹣1
【分析】去分母得：2x＝x﹣1，
解得：x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是分式方程的解，
故答案为：﹣1
点睛：此题考查知道分式方程，借助了转化的思想，解分式方程注意要检验．
9．（2019•锦州）甲、乙两地相距1000km，假如乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用3h，已知高铁列车的平均速度是特快列车的1.6倍，设特快列车的平均速度为xkm/h，依据题意可列方程为__________．
【答案】
【分析】由题意可得，
，
故答案为：．
点睛：本题考查由实质问题抽象出分式方程，解答本题的重点是明确题意，列出相应的分式方程．
10．（2019•铜仁市）分式方程
的解为y＝__________．
【答案】-3
【分析】去分母得：5y＝3y﹣6，
解得：y＝﹣3，
经检验y＝﹣3是分式方程的解，
则分式方程的解为y＝﹣3．
故答案为：﹣3
点睛：此题考查知道分式方程，借助了转化的思想，解分式方程注意要检验．
11．（2019•襄阳）概念：a*b
，则方程2*（x+3）＝1*（2x）的解为______________________________．
【答案】x＝1
【分析】2*（x+3）＝1*（2x），
，
4x＝x+3，
x＝1，
经检验：x＝1是原方程的解，
故答案为：x＝1．
点睛：本题考查知道分式方程和新概念的理解，熟练学会解分式方程的步骤是重点．
12．（2019•宿迁）关于x的分式方程1的解为正数，则a的取值范围是______________________________．
【答案】a＜5且a≠3
【分析】去分母得：1﹣a+2＝x﹣2，
解得：x＝5﹣a，
5﹣a＞0，
解得：a＜5，
当x＝5﹣a＝2时，a＝3不合题意，
故a＜5且a≠3．
故答案为：a＜5且a≠3．
点睛：此题主要考查了分式方程的解，注意分式的解是不是有意义是解题重点．
13．（2018•齐齐哈尔）若关于x的方程
无解，则m的值为__________．
【答案】﹣1或5或
．【分析】去分母得：x+4+m（x﹣4）＝m+3，
可得：（m+1）x＝5m﹣1，
当m+1＝0时，一元一次方程无解，
此时m＝﹣1，
当m+1≠0时，
则x
±4，
解得：m＝5或，
综上所述：m＝﹣1或5或，
故答案为：﹣1或5或．
点睛：此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题重点．
14．（2019•随州）解关于x的分式方程：
．
【答案】x
是分式方程的解
【分析】去分母得：27﹣9x＝18+6x，
移项合并得：15x＝9，
解得：x，
经检验x是分式方程的解．
点睛：此题考查知道分式方程，借助了转化的思想，解分式方程注意要检验．
15．（2019•朝阳）佳佳文具店购进A，B两种款式的笔袋，其中A种笔袋的单价比B种袋的单价低10%．已知店主购进A种笔袋用了810元，购进B种笔袋用了600元，且所购进的A种笔袋的数目比B种笔袋多20个．请问：文具店购进A，B两种款式的笔袋各多少个？
【答案】文具店购进A种款式的笔袋60个，B种款式的笔袋40个
【分析】设文具店购进B种款式的笔袋x个，则购进A种款式的笔袋（x+20）个，
依题意，得：（1﹣10%），
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列分式方程的解，且符合题意，
∴x+20＝60．
答：文具店购进A种款式的笔袋60个，B种款式的笔袋40个．
点睛：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的重点．
16.（2019•西藏）列方程（组）解应用题
绿水青山就是金山银山，为了创造好的生态环境，预防水土流失，某村计划在荒坡上种树600棵，因为年轻人志愿者支援，实质天天种树的棵树是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划天天种树多少棵？
【答案】原计划天天种树75棵
【分析】设原计划天天种树x棵．
由题意，得4
解得，x＝75
经检验，x＝75是原方程的解．
答：原计划天天种树75棵．
点睛：此题主要考分数查询式方程的应用，剖析题意，找到适合的等量关系是解决问题的重点．工程类问题主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间．
17．（2019•沈阳）2019年3月12日是第41个植树节，某单位积极拓展植树活动，决定购买甲、乙两种树苗，用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少6元．
（1）求甲种树苗每棵多少元？
（2）若筹备用3800元购买甲、乙两种树苗共100棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
【分析】（1）设甲种树苗每棵x元，依据题意得：
，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原方程的解，
答：甲种树苗每棵40元；
（2）设购买乙中树苗y棵，依据题意得：
40（100﹣y）+34y≤3800，
解得：y≥33，
∵y是正整数，
∴y最小取34，
答：至少要购买乙种树苗34棵．
点睛：本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的重点是依据题意找到等量关系，困难程度不大．
18．（2019•云南）为进一步打造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传环境，推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教育”基地拓展扫黑除恶教育活动．已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度．
【分析】设甲学校师生所乘大巴车的平均速度为x千米/小时，则乙学校师生所乘大巴车的平均速度为1.5x千米/小时，
由题意得：
，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是所列方程的解，
则1.5x＝90，
答：甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度分别为60千米/小时、90千米/小时．
点睛：本题主要考分数查询式方程的应用，解题的重点是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系，并依据相等关系列出方程．
19．（2019•柳州）小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元，已知用8元购买大本作业本的数目与用5元购买小本作业本的数目相同．
（1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？
（2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数目是大本作业本数目的2倍，总成本低于15元．则大本作业本最多能购买多少本？
【分析】（1）设小本作业本每本x元，则大本作业本每本（x+0.3）元，
依题意，得：
，
解得：x＝0.5，
经检验，x＝0.5是原方程的解，且符合题意，
∴x+0.3＝0.8．
答：大本作业本每本0.8元，小本作业本每本0.5元．
（2）设大本作业本购买m本，则小本作业本购买2m本，
依题意，得：0.8m+0.5×2m≤15，
解得：m
．
∵m为正整数，
∴m的最大值为8．
答：大本作业本最多能购买8本．
点睛：本题考查了分式方程的应用与一元一次不等式的应用，解题的重点是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）依据各数目之间的关系，正确列出一元一次不等式．
20．（2019•郴州）某小微企业为加快产业转型升级节奏，引进一批A，B两种型号的机器．已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等．
（1）每台A，B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？
（2）假如该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一块加工一批该零件，为了如期完成任务，需要两种机器每小时加工的零件不少于72件，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零件不可以超越76件，那样A，B两种型号的机器可以各安排多少台？
【分析】（1）设每台B型机器每小时加工x个零件，则每台A型机器每小时加工（x+2）个零件，
依题意，得：
，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，
∴x+2＝8．
答：每台A型机器每小时加工8个零件，每台B型机器每小时加工6个零件．
（2）设A型机器安排m台，则B型机器安排（10﹣m）台，
依题意，得：，
解得：6≤m≤8．
∵m为正整数，
∴m＝6，7，8．
答：共有三种安排策略，策略1、A型机器安排6台，B型机器安排4台；策略2、A型机器安排7台，B型机器安排3台；策略3、A型机器安排8台，B型机器安排2台．
点睛：本题考查了分式方程的应用与一元一次不等式组的应用，解题的重点是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）依据各数目之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
